****DEMOSTRACION DE LA FORMULA DE HERON****

Posiblemente la expresión matemática más conocida de Herón sea su fórmula para determinar el área de un triágulo conocidos sus lados. Algo realmente útil en aquellos tiempos. Si bien parece que era conocida por Arquímedes, la primera demostración que nos ha llegado figura en la Métrica. El teorema nos garantiza, conociendo las lados de un triángulo, conocer su área, mediante la expresión

                                                    $A= \sqrt{s (s-a)  (s-b) (s-c)}$

  1....LO PRIMERO QUE HACEMOS ES INSCRIBIR UNA CIRCUNFERENCIA EN EL                                                      TRIANGULO  ABC

 El area de dicho triangulo es  A= r.p siendo r el radio del circulo y p la mitad del perimetro del triangulo..

luego vemos que los triangulos

AOM  Y   AOP

 BON Y  CON

AOP Y  COP

                                       
                                     Son congruentes dado que AM=AP, MB=BN, CP=CN
                                     Ademas te tambien comparten angulos iguales.


Por tanto lo que logramos asi es darnos cuenta que al incribir una circunferencia en el triangulo ABC, lo que 
logramos es determinar pares de triangulos semejantes.  


                                   PRIMER PASO DE LA DEMOSTRACION.....¡¡¡¡¡


                        Ahora pues lo que sigue es prolongar la base  AB  hasta c de tal forma que 

                                                          

                                                                      AC'= PC = CN

ahora veamos lo siguiente:

BC'  =  BM + MA + AC'

        =  BM + MA + CN 

                                                               = 1/2( 2BM +2MA + 2CN) 

Sabemos que  BM= BN. MA=AP. CN=CP,  como podemos observar en la figura entonces la expresion anterior la podemos escribir como:

1/2 ( (BM + MA) + (AM + AP) + (CN + CP)

1/2 ( (BM + AM) + (BN + NC) + (AP + PC) 

 = 1/2 (a + b + c ) = p 

    

llegamos asi a la esxpresion anterior es el semiperimetro del triangulo ABC.

SEGUNDO PASO DE LA DEMOSTRACION¡¡¡¡¡¡

con todo lo anterior estableceremos lo siguiente:

p = C'B

                                                                      (lado c)

               p - c = (C'A + AM + MB) - (AM + MB) =  C'A 

p - b = (C'A + AM + MB) - (CP + PA)

                CP=C'A Y PA=AM

                        

                                                                    lado b

                          (C'A + AM + MB) - (C'A + AM)  =  MB
      

 p - a = (C'A + AM + MB) - (CN + NB) 

CN=C'A  NB=MB

                   

                                              lado a

                         (C'A + AM + MB) - (C'A + MB) = AM

           TERCER PASO DE LA DEMOSRTRACION¡¡¡¡¡¡

Despues trazamos una perpendicular a la base por A y otra al 


segemento 


OB por O ambas se cortan en T unimos dicho punto con B.

Obteniendo asi el cuadrilatero TAOB tal que sus angulos opuestos sumen 180° dado que el cuadrilatero se puede inscribir en una circunferencia por ser TO perpendicular a OL  y AT perpendicular  a AB.

luego asi comparemos las perejas de triangulos semejantes.

Son semejantes los triángulos POC y ATB.
 Por qué:

AB/AT = PC/r  y como PC = C'A

 resulta

AB/AC' = AT/r

ahora veamos los siguientes triangulos:

También son semejantes los  KAT y KMO   Por qué

AT/AK = OM/KM = r/KM,   por lo que

AT/r = AK/KM

CUARTO PASO DE LA DEMOSTRACION¡¡¡

Tomando en cuenta lo anterior tenemos:

AB/AC' = AK/KM

sumando 1 a cada miembro de la expresion:

AB/AC'+ 1 = AK/KM + 1

(AB + AC')/AC' = (AK + KM)/KM

C'B/AC' = AM/KM,

expresión equivalente a:

(C'B.C'B)/(AC'.C'B) = (AM.MB)/(KM.MB) 

o bien
C'B ².KM.MB = AC'.C'B.AM.MB

al aplicar el teorema de la altura tenemos que 

 r ² = KM.MB.

sustituyendo en la expresion anterior queda:

C'B ².r ² = AC'.C'B.AM.MB

que si prestamos un poco de atencion a dichos segementos nos podemos dar cuenta de que son los segmentos determinados sobre la base del triangulo..

dado que: 

    AC'= p-c

C'B= p

  AM= p-a

   MB= p-a

                                         C'B .r= p.r  area del triangulo ABC 

QUINTO PASO DE LA DEMOSTRACION¡¡¡¡¡

Al manipular los las expresiones queda como:

  C'B ².r ² = p.(p - a).(p - b). (p - c)
(C'B.r) ² = p.(p - a).(p - b). (p - c)

Área ² = p.(p - a).(p - b). (p - c)

quedando asi demostrado¡¡¡

DECIDI SEPAR LA DEMOSTRACION POR PASOS PARA ENTENDERLE MEJOR¡¡¡


ASI LOS PASOS QUE SEGUI SON:

1... DEMOSTRAR AL INSCRIBIR LA CIRCUNFERENCIA LOS TRIANGULOS QUE SE FORMAN SON SEMEJANTES.

2.....OBTENER EL SEMI PERIMETRO DEL TRIANGULO

3......DEDUCIR LA MEDIDA DE LOS SEGMENTOS DETERMINADOS SOBRE LA BASE DEL TRIANGULO..

4.......COMPARAR LOS TRIANGULOS SEMEJANTES DESPUES DE HABER CONSTRUIDO EL CUADRILATERO TAOB

  5.....SUSTITUIR VALORES EN LA EXPRESION QUE RESULTA....